Question

1．已知函数f（x）=ax²-$\frac{2}{a}$x+2+b满足对任意的实数x都有f（1-x）=f（1+x），且f（x）的值域为[1，+∞）
（1）求a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上为单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数图象关于直线x=1对称，开口朝上，最小值为1，进而构造关于a，b的方程，解得a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上为单调函数，则$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，解各实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）满足对任意的实数x都有f（1-x）=f（1+x），
故函数图象关于直线x=1对称，
即$\frac{2}{2{a}^{2}}$=1，
又∵f（x）的值域为[1，+∞），
故a＞0且$\frac{4a（2+b）-\frac{4}{{a}^{2}}}{4a}$=1，
解得：a=1，b=0；
（2）由（1）得f（x）=x²-2x+2，
∴g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2，
函数图象关于直线x=$\frac{m+2}{2}$对称，
若g（x）在[2，4]上为单调函数，
则$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，
解得：m∈（-∞，2]∪[6，+∞）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．