Question

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

，将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求直线AE与平面ADC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先根据条件得到BD⊥平面AEM；进而通过求边长得到AE⊥ME；即可得到结论；
（2）先建立空间直角坐标系，求出平面ADC的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可．

解答： （1）证明：如图1取BD中点M，连接AM，ME．
∵AB=AD=

2

，
∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，BC=

5

，
DB²+DC²=BC²，
∴△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中点，∴ME为△BCD的中位线
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

，
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，
∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线，
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE
∵AB=AD=

2

，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BD=1，
∴AAE²=AM²+ME²-2AM•ME•cos∠AME=

3

4

，
∴AE=

3

2

，
∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD?平面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC   …（6分）
（2）解：如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系M-xyz，
则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），E（0，

1

2

，0），A（0，

1

2

，

3

2

），D（-1，0，0），C（-1，1，0），
∴

DA

=（1，

1

2

，

3

2

），

DC

=（0，1，0），

AE

=（0，0，-

3

2

），…（8分）
设平面ACD的法向量为

n

=（x，y，z）
则

x+ 1 2 y+ 3 2 z=0 y=0

，∴

n

=（

3

，0，-2），
设直线AE与平面ADC所成角为α，则sinα=

3

7 • 3 2

=

2 7

7

  …（10分）
∴直线AE与平面ADC所成角的正弦值为

2 7

7

       …（12分）

点评：本题主要考察线面垂直的证明以及二面角的求法．一般在证明线面垂直时，先转化为证明线线垂直．进而得到线面垂直．