Question

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，且a₂+a₅=2a_m，则m等于（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、10

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：先假设q=1，分别利用首项表示出前3、6、及9项的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比数列的前n项和的公式化简S₃+S₆=2S₉得到关于q的方程，根据q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．然后求解m．

解答： 解：若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
但a₁≠0，即得S₃+S₆≠2S₉，与题设矛盾，q≠1．
又依题意S₃+S₆=2S₉
可得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

a1(1-q9)

1-q

整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．
（2q³+1）（q³-1）=0，
∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0
∴q³=-

1

2

，
a₂+a₅=2a_m，a₂+a₂q³=2a₂q^m-2．
∴

1

2

=2(-

1

2

)

m-2

3

，
∴m=8，
故选：C．

点评：本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力，是一道综合题．