Question

用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），则该容器的高为

 

时，容器的容积最大？最大容积是

 

？

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：设在四角分别截去一个小正方形的边长为xcm，可得该容器的长宽分别为90-2x，（48-2x）cm．（0＜x＜24）该容器的容积V=（90-2x）（48-2x）x，利用导数研究其单调性极值与最值即可．

解答： 解：设在四角分别截去一个小正方形的边长为xcm，
该容器的长宽分别为90-2x，（48-2x）cm．（0＜x＜24）
该容器的容积V=（90-2x）（48-2x）x=4x³-276x²+4320x，
V′=12x²-552x+4320=12（x²-46x+360）．
令V′=0，∵0＜x＜24，解得x=10．
当0＜x＜10时，V′＞0，函数V（x）单调递增；当10＜x＜24时，V′＜0，函数V（x）单调递减．
∴当x=10cm时，V（x）取得最大值，V（10）=19600（cm³）．
故答案分别为：10cm，19600（cm³）．

点评：本题考查了长方体的体积计算公式、利用导数研究其单调性极值与最值，属于中档题．