Question

10．如图所示，圆O的半径为R，A、B、C为圆O上不同的三点，圆心O在线段AC上．
（1）当AB=4，BC=3时，在圆O内任取一点P，求所取点P恰好位于△ABC内的概率；
（2）当R=1，B点为圆O上的动点时，此时在圆O内任取一点Q，求点Q位于△ABC内的概率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出圆O的面积与△ABC的面积，计算点P恰好位于△ABC内的概率值；
（2）建立适当的直角坐标系，求出对应△ABC的面积，计算点Q位于△ABC内的概率与取值范围．

解答 解：（1）记“所求点恰好位于△ABC内”为事件A，
∵AC为原O的直径，
∴2R=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，半径R=$\frac{5}{2}$，
∴圆O的面积为S_圆O=π•${（\frac{5}{2}）}^{2}$=$\frac{25π}{4}$；
又∵△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴点P恰好位于△ABC内的概率为
P（A）=$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{圆O}}$=$\frac{6}{\frac{25π}{4}}$=$\frac{24}{25π}$；
（2）以O为原点，直线AC为x轴，以过O点并垂直于直线AC的直线为y轴建立直角坐标系，
则有A（-1，0），C（1，0），设B（x，y）；
记“所取点Q位于△ABC内”为事件B，
则由题设知-1＜x＜1，R²=x²+y²=1，
∵$\overrightarrow{AB}$=（x+1，y），$\overrightarrow{CB}$=（x-1，y），
∴|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{（x+1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{2+2x}$，
|$\overrightarrow{CB}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}}$=$\sqrt{2-2x}$，
∴△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|•|$\overrightarrow{CB}$|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2+2x}$•$\sqrt{2-2x}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{4-{4x}^{2}}$；
又∵-1＜x＜1，∴0＜4-4x²＜4，
∴0＜S_△ABC＜1；
又∵S_圆O=π×1²=π，
∴P（B）=$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{圆O}}$，
∴点Q位于△ABC内的概率取值范围为0＜P（B）＜$\frac{1}{π}$．

点评 本题考查了几何概型的概率应用问题，解题时应求出对应几何图形的面积比值即可，是综合性题目．