Question

9．第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为C（x）万元．若年产量不足80台时，C（x）=$\frac{1}{2}$x²+40x（万元）；若年产量不小于80台时，C（x）=101x+$\frac{8100}{x}$-2180（万元）．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．
（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？

Answer 1

分析 （1）通过利润=销售收入-成本，分0＜x＜80、x≥80两种情况讨论即可；
（2）通过（1）配方可知当0＜x＜80时，当x=60时y取得最大值为1300（万元），利用基本不等式可知当x≥80时，当x=90时y取最大值为1500（万元），比较即得结论．

解答 解：（1）当0＜x＜80时，y=100x-（$\frac{1}{2}$x²+40x）-500=-$\frac{1}{2}$x²+60x-500，
当x≥80时，y=100x-（101x+$\frac{8100}{x}$-2180）-500=1680-（x+$\frac{8100}{x}$），
于是y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}^{2}+60x-500，0＜x＜80}\\{1680-（x+\frac{8100}{x}），x≥80}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知当0＜x＜80时，y=-$\frac{1}{2}$（x-60）²+1300，
此时当x=60时y取得最大值为1300（万元），
当x≥80时，y=1680-（x+$\frac{8100}{x}$）≤1680-2$\sqrt{x•\frac{8100}{x}}$=1500，
当且仅当x=$\frac{8100}{x}$即x=90时y取最大值为1500（万元），
综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．