Question

20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是①②③．（填写所有正确命题的序号）
①若sinAsinB=2sin²C，则0＜C＜$\frac{π}{4}$；
②若a+b＞2c，则0＜C＜$\frac{π}{3}$；
③若a⁴+b⁴=c⁴．则△ABC为锐角三角形；  
④若（a+b）c＜2ab，则C＞$\frac{π}{2}$•

Answer 1

分析 ①由正弦定理可得：ab=2c²，由余弦定理可得：c²=$\frac{ab}{2}$=a²+b²-2abcosC，整理可得：cosC=$\frac{1}{2}（\frac{a}{b}+\frac{b}{a}）$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用余弦函数的图象和性质可得0＜C＜$\frac{π}{4}$，命题正确；
②利用余弦定理，将c²放大为（$\frac{a+b}{2}$）²，再结合均值定理即可证明cosC＞$\frac{1}{2}$，从而证明C＜$\frac{π}{3}$；
③由题意可得 （a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，故角C 为锐角，再根据c边为最大边，故角C 为△ABC的最大角，从而得出结论
④只需举反例即可证明其为假命题，可举符合条件的等边三角形；

解答 解：①若sinAsinB=2sin²C，由正弦定理可得：ab=2c²，
由余弦定理可得：c²=$\frac{ab}{2}$=a²+b²-2abcosC，整理可得：cosC=$\frac{1}{2}（\frac{a}{b}+\frac{b}{a}）$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$$＞\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则0＜C＜$\frac{π}{4}$，命题正确；
②a+b＞2c⇒cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞$\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）-（a+b）^{2}}{8ab}$≥$\frac{3}{8}$×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{2}$⇒C＜$\frac{π}{3}$，故②正确；
③∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，
∴（a²+b²）²=a⁴+b⁴ +2a²b²=c⁴+2a²b²．
∴（a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0．
又 （a²+b²）²-c⁴ =（a²+b²+c²）（a²+b²-c²），
∴（a²+b²-c²）＞0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，故角C为锐角．
再由题意可得，c边为最大边，故角C为△ABC的最大角，
∴△ABC是锐角三角形，命题正确；
④取a=b=2，c=1，满足（a+b）c＜2ab得：C＜$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$，故④错误；
故答案为：①②③．

点评 本题主要考查了解三角形的知识，放缩法证明不等式的技巧，反证法和举反例法证明不等式，有一定的难度，考查了转化思想，属于中档题．