Question

15．（1）证明：函数y=xsinx+cosx在区间（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π）内是增函数．
（2）证明：函数f（x）=e^x+e^-x在[0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 求出函数的导数，判断函数的导数在区间上的符号，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可证明本题．

解答 证明：（1）函数y=xsinx+cosx，
则函数y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx．
∵x∈（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π），
∴cosx＞0，
∴xcosx＞0，即x∈（$\frac{3}{2}$π，$\frac{5}{2}$π），y′＞0恒成立，
∴函数y=xsinx+cosx在区间（，）上是增函数；
（2）：∵f（x）=e^x+e^-x
∴f′（x）=e^x-e^-x
令f′（x）≥0得，x≥0，
函数f（x）=e^x+e^-x在[0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．