Question

20．已知椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂的直线与椭圆相交于P，Q两点，若PQ⊥PF₁，且4PF₁=3PQ，则椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 设|QF₂|=m，|PF₂|=n，利用椭圆的定义可得|QF₁|=2a-m，|PF₁|=2a-n．由4|PF₁|=3|PQ|，可得4（2a-n）=3（m+n）．由PF₁⊥PQ，利用勾股定理可得：（2a-n）²+n²=4c²，（2a-n）²+（m+n）²=（2a-m）²．联立解得即可．

解答 解：如图所示，设|QF₂|=m，|PF₂|=n，
则|QF₁|=2a-m，|PF₁|=2a-n．
∵4|PF₁|=3|PQ|，∴4（2a-n）=3（m+n），
∵PF₁⊥PQ，
∴（2a-n）²+n²=4c²，
（2a-n）²+（m+n）²=（2a-m）²．
联立$\left\{\begin{array}{l}{4（2a-n）=3（n+m）}\\{（2a-n）^{2}+{n}^{2}=4{c}^{2}}\\{（2a-n）^{2}+（m+n）^{2}=（2a-m）^{2}}\end{array}\right.$，
化为n=a，代入可得a²=2c²．
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．