Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列a_n的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用待定系数法和题意，构造等比数列{a_n+1}，由等比数列的通项公式求出a_n；
（2）根据分组求和法、等比数列的前n项和公式，求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设a_n+1+k=3（a_n+k）（k是常数），则a_n+1=3a_n+2k，
因为a_n+1=3a_n+2，所以2k=2，解得k=1，
则a_n+1+1=3（a_n+1），即

an+1+1

an+1

=3，
又a₁=2，则a₁+1=3，
所以数列{a_n+1}是以3为首项、公比的等比数列，
则a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，所以a_n=3ⁿ-1；
（2）由（1）得，
数列{a_n}的前n项和S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n
=

3(1-3n)

1-3

-n=

3n+1-2n-3

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，待定系数法构造等比数列，以及分组求和法求数列的前n项和，这是常考的题型．