Question

在申办国家级示范性高中期间，某校拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室. 如图所示，是一块边长为50m的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径为40m，矩形就是拟建的健身室，其中分别在和上，在弧上，设矩形的面积为，∠.

(1) 试将表示为的函数；
(2) 当点在弧的何处时，该健身室的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

（1）.
（2）当点在弧的端点或处时，健身室的面积最大，最大面积为500m²

试题分析：解： (1) 延长交于，
∥，∴.，
∴,，
于是，                                 4分
∴矩形的面积为.   6分                     
(2) .
设，则，                                   7分
.                               8分
，∴.                                    10分
∴当时，有最大值，且，                                      
此时，，即，，∴.                                             
答：当点在弧的端点或处时，健身室的面积最大，最大面积为500m² .       12分
点评：主要是考查了运用三角函数表示面积，以及求解最值的运用，属于中档题。