Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PD⊥底面ABCD，E，F，M分别是PC，PB，CD的中点．
（1）证明：PB⊥AC；
（2）证明：平面PAD∥平面MEF．

Answer 1

分析 （1）证明：AC⊥平面PBD，即可证明PB⊥AC；
（2）证明EF∥平面PAD；EM∥平面PAD，利用平面与平面平行的判定定理，即可证明平面PAD∥平面MEF．

解答 证明：（1）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AC．…（1分）
∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，…（2分）
又因为PD∩BD=D，…（3分）
∴AC⊥平面PBD，…（4分）
而PB?平面PBD，…（4分）
∴AC⊥PB．  …（6分）
（2）因为E，F为PC，PB中点，所以EF∥BC
所以EF∥AD，…（7分）
又因为AD?面PAD，EF?面PAD…8分
所以EF∥平面PAD；…（9分）
同理可证：EM∥平面PAD．…（10分）
又因为EF，EM?面EFM，EF∩EM=E…（11分）
所以面EFM∥面PAD．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及直线与平面平行、平面与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于中档题．