Question

【题目】若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_____________．

Answer 1

【答案】(，0)[，)

【解析】

根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可．

由得x+s（y﹣2ex）ln=0，

即1+s（﹣2e）ln=0，

即设t=，则t＞0，

则条件等价为1+s（t﹣2e）lnt=0，

即（t﹣2e）lnt=有解，

设g（t）=（t﹣2e）lnt，

g′（t）=lnt+1﹣为增函数，

∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，

∴当t＞e时，g′（t）＞0，

当0＜t＜e时，g′（t）＜0，

即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，

即g（t）≥g（e）=﹣e，

若（t﹣2e）lnt=有解，

则≥﹣e，即≤e，

则s＜0或s≥，

故答案为：s＜0或s≥．