Question

【题目】如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.

(1)求证：；

(2)若平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)存在，2：1

【解析】

（1）先证明AC⊥面SBD，然后利用线面垂直的性质证明AC⊥SD；

（2）利用线面平行的性质定理确定E的位置，然后求出SE：EC的值．

（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC，

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥面SBD，

所以AC⊥SD．

（2）解：若SD⊥平面PAC，

则SD⊥OP，

设正方形ABCD的边长为a，

则SD，OD，

则OD2＝PDSD，

可得PD，

故可在SP上取一点N，使PN＝PD，

过N作PC的平行线与SC的交点即为E，连BN．

在△BDN中知BN∥PO，

又由于NE∥PC，故平面BEN∥面PAC，

得BE∥面PAC，

由于SN：NP＝2：1，

故SE：EC＝2：1．