题目内容
【题目】设数列
的前
项的和为
，且
，
.
（1）证明数列
为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项的和
；
（3）设函数
（
为常数），且（2）中的＞
对任意的
和
都成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，
（
）；（2）
；（3）
【解析】
（1）由
，可得
时，
；
，
．变形为：
，即可证明数列
是等比数列，可得
．再利用：
时，
，即可得出；
（2）由（Ⅰ）知，
裂项相消法可得
；
（3）由
对所有的
和
都成立，可得：
，利用数列的单调性与二次函数的单调性即可得出．
（1）证：∵，
∴，
∵
，∴
，
∴数列
是首项为2，公比
的等比数列，
∴
，即
，
当
时，
，
当时，
，满足上式，
故数列
的通项公式（）；
（2）解：∵
，
∴=
，
（3）解：显然
，故由题知对任意的，都有
，
即
对任意的恒成立，
∴
，即
，∴
，
故实数
的取值范围是．
【题目】[2019·清远期末]一只红铃虫的产卵数
和温度
有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：
温度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
产卵数 | 5 | 20 | 100 | 325 |
（1）根据散点图判断
与
哪一个更适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（数字保留2位小数）；
（3）要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少
以下？（最后结果保留到整数）
参考数据：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
| 5 | 20 | 100 | 325 |
| 1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |
【题目】为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价．阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：
阶梯级别 | 第一阶梯水量 | 第二阶梯水量 | 第三阶梯水量 |
月用水量范围(单位：立方米) |
|
|
|
从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一月份的月用水量，得到如图茎叶图：
（Ⅰ）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到
户月用水量为一阶的可能性最大，求的值．
