题目内容
已知函数f（x）=x3-3x2-9x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,导数的概念及应用
分析：（Ⅰ）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间．
解答：
解：（I）由题意f'（x）=3x2-6x-9，k=f'（0）=-9，f（0）=1
所以函数在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=-9x，即9x+y-1=0…（6分）
（II）令f'（x）=3x2-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3
令f'（x）=3x2-6x-9＜0，解得-1＜x＜3
故：函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），单调减区间为（-1，3）…（13分）
所以函数在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=-9x，即9x+y-1=0…（6分）
（II）令f'（x）=3x2-6x-9＞0，解得x＜-1或x＞3
令f'（x）=3x2-6x-9＜0，解得-1＜x＜3
故：函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1），（3，+∞），单调减区间为（-1，3）…（13分）
点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
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