题目内容
已知f（x）=sin2x+asinx+a-
，a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若对任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．
| 3 |
| a |
（Ⅰ）若对任意x∈R，都有f（x）≤0，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a≥2，且存在x∈R，使得f（x）≤0，求a的取值范围．
考点：同角三角函数基本关系的运用,正弦函数的图象
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）由题意可得函数g（t）=(t+
)2+a-
-
≤0 在[-1，1]上恒成立，故有
，由此求得a的范围．
（Ⅱ）若a≥2，则-
≤-1，g（t）=(t+
)2+a-
-
≤0 在[-1，1]上是增函数，再根据g（t）的最小值g（-1）≤0，求得a的范围．
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| a2 |
| 4 |
|
（Ⅱ）若a≥2，则-
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| a2 |
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）对任意x∈R，f（x）=sin2x+asinx+a-
=(sinx+
)2+a-
-
≤0 恒成立，
则函数g（t）=(t+
)2+a-
-
≤0 在[-1，1]上恒成立，故有
，
即
，求得0＜a≤1．
（Ⅱ）若a≥2，则-
≤-1，且存在x∈R，使得f（x）≤0，则g（t）=(t+
)2+a-
-
≤0 在[-1，1]上是增函数，
故有g（-1）=1-
≤0，求得0＜a≤3，综合可得，2≤a≤3．
| 3 |
| a |
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| a2 |
| 4 |
则函数g（t）=(t+
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| a2 |
| 4 |
|
即
|
（Ⅱ）若a≥2，则-
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| a |
| a2 |
| 4 |
故有g（-1）=1-
| 3 |
| a |
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质，属于基础题．
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