Question

1．已知{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₅=14，a₇=20．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=14}\\{{a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，解出即可得出；
（II）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₅=14，a₇=20．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=14}\\{{a}_{1}+6d=20}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=3．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{2（3n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．