Question

12．已知函数f（x）=lnx-（x-1）（a为常数）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）试证明：对任意的n∈N^*，都有ln（1+$\frac{1}{n}$）$＜\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）先确定函数f（x）的定义域，再求导f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，从而判断函数的单调性与极值；
（2）由（1）知当x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1，再令x=1+$\frac{1}{n}$即可．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-（x-1）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在x=1处有极大值f（1）=0-（1-1）=0；
（2）证明：由（1）知，
当x∈（1，2]时，f（x）＜f（1）=0，
即lnx＜x-1，
令x=1+$\frac{1}{n}$，则
ln（1+$\frac{1}{n}$）＜1+$\frac{1}{n}$-1，
即ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，
故对任意的n∈N^*，都有ln（1+$\frac{1}{n}$）$＜\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了导数的综合应用，同时考查了换元法的应用．