Question

13．设函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
（Ⅰ）求曲线在（-1，f（-1））处的切线方程；
（Ⅱ）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）将不等式化简得kx²-（k+1）x+1＜0，然后分情况讨论即可．

解答 解：求导函数，可得f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f′（-1）=-$\frac{2}{e}$，f（-1）=$-\frac{1}{e}$．
∴曲线在（-1，f（-1））处的切线方程是y+$\frac{1}{e}$=-$\frac{2}{e}$（x+1）．
即2x+ey+3=0．
（2）$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$）+k（1-x）$\frac{{e}^{x}}{x}$＞0，
∵e^x＞0，x²＞0，
∴kx²-（k+1）x+1＜0．
令g（x）=kx²-（k+1）x+1．
△=（k+1）²-4k=-3k²+2k+1，
令△=0得k₁=-$\frac{1}{3}$（舍去），k₂=1，
∴当0＜k＜1时，△＞0，则g（x）=0的根为x₁=$\frac{k+1-\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$＞0，
x₂=$\frac{k+1+\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$，
∴kx²-（k+1）x+1＜0的解集为（$\frac{k+1-\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$，$\frac{k+1+\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$）；
当k≥1时，△≤0，∴kx²-（k+1）x+1＜0的解集为∅．
综上所述：
当0＜k＜1时，f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集为（$\frac{k+1-\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$，$\frac{k+1+\sqrt{-3{k}^{2}+2k+1}}{2k}$）；
当k≥1时，f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集为∅．

点评 本题考查了导数的几何意义，二次不等式的解法，涉及分类讨论思想，是中档题．