Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB、CD与抛物线分别相交于A、B以及C、D，若

1

|AF|

+

1

|BF|

=1．
（1）求此抛物线的方程．
（2）试求四边形ACBD的面积的最小值．
（3）设N（n，0）（n＜0），过点N的直线与抛物线相交于P、Q两点，且

NP

=

1

3

NQ

，试将|PQ|表示为n的表达式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设直线AB的方程为y=k(x-

p

2

)，联立

y=k(x- p 2 ) y2=4x

，得k2x2-(k2p+2p)x+k2

p2

4

=0，由此得到

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

xA+ P 2

+

1

xB+ P 2

=1，从而能求出抛物线的方程．
（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），联立

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，由弦长公式得|AB|=4+

4

k2

，以-

1

k

换k得|CD|=4+4k²，由此能求出四边形ACBD的面积的最小值．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）直线PQ的方程为y=t（x-n），联立

y=t(x-n) y2=4x

，得

t

4

y2-y-tn=0，由此能将|PQ|表示为n的表达式．

解答： 解：（1）设直线AB的斜率为k（k≠0），直线AB的方程为y=k(x-

p

2

)，
联立

y=k(x- p 2 ) y2=4x

，消去y得k2x2-(k2p+2p)x+k2

p2

4

=0，
从而xA+xB=p+

2p

k2

，xA．xB=

p2

4

，
故

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

xA+ P 2

+

1

xB+ P 2

=1，
化简整理得(p2-2p)(1-

1

k2

)=0，
故（p²-2p）=0，因为p＞0，
所以p=2，即抛物线的方程为y²=4x．（5分）
（2）设直线AB的斜率为k（k≠0），则直线CD的斜率为-

1

k

．
直线AB的方程为y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) y2=4x

，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
从而xA+xB=2+

4

k2

，x_A．x_B=1，
由弦长公式得|AB|=4+

4

k2

，
以-

1

k

换k得|CD|=4+4k²，
故所求面积为

1

2

|AB||CD|=(4+4k2)(4+

4

k2

)×

1

2

=8(2+k2+

1

k2

)≥32（当k²=1时取等号），
即面积的最小值为32．（10分）
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）直线PQ的方程为y=t（x-n），
联立

y=t(x-n) y2=4x

，消去x得

t

4

y2-y-tn=0，
△=1-4×

t

4

(-tn)＞0，即t2＜-

1

n

．
又

NP

=

1

3

NQ

，即y₂=3y₁，
由于y1+y2=

4

t

，y₁y₂=-4n，进而4y1=

4

t

，3y12=-4n，
消去y₁得

1

t2

=-

4n

3

，
|PQ|=

1+ 1 t2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 t2

16 t2 +16n

=

4

3

4n2-3n

（n＜0）．（14分）

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查四边形面积的最小值的求法，考查弦长的表达式的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的灵活运用．