Question

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，己知F₁，F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°，则这 一对相关曲线中椭圆的离心率是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，由余弦定理4c²=m²+n²-mn，设a₁是椭圆的长半轴，a₁是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₁，由此能求出结果．

解答： 解：设F₁P=m，F₂P=n，F₁F₂=2c，
由余弦定理得（2c）²=m²+n²-2mncos60°，
即4c²=m²+n²-mn，
设a₁是椭圆的实半轴，a₂是双曲线的实半轴，
由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a₁，m-n=2a₂，
∴m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a₂²-4c²+a12=0，
a₁=3a₂，e₁•e₂=

c

a1

•

c

a2

=

c

a1

•

3c

a1

=1
即3e12=1
∴e1=

3

3

故答案为

3

3

点评：本题考查双曲线和椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意正确理解“相关曲线”的概念．