Question

下列四个命题中，所有真命题的序号是

 

．
①?m∈R，使f（x）=（m-1）x m2-4m+3是幂函数；
②若函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），则函数f（x）周期为2；
③如果a＞0且a≠1，那么log_af（x）=log_ag（x）的充要条件是a^f（x）=a^g（x）；
④命题“?x∈R，都有x²-3x-2≥0”的否定是“?x∈R，使得x²-3x-2≤0”

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，由m-1=1求出m的值，代入指数判断不等于0说明①是真命题；
对于②，取x=x-1，得到f（x）=f（x+2），由此判断②是真命题；
对于③，由充分条件、必要条件的概念加以判断；
对于④，直接写出全程命题的否定加以判断．

解答： 解：对于①，由m-1=1，得m=2，此时m²-4m+3=2²-4×2+3=-1，函数f（x）=x^-1是幂函数，
∴命题①为真命题；
对于②，由f（x+1）=f（x-1），得f（x）=f（x+2），
∴函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴命题②为真命题；
对于③，a＞0且a≠1，由a^f（x）=a^g（x）得到f（x）=g（x），当f（x）＜0时log_af（x）=log_ag（x）不成立．由log_af（x）=log_ag（x），得到f（x）=g（x），此时a^f（x）=a^g（x）成立．
∴a^f（x）=a^g（x）是log_af（x）=log_ag（x）的必要不充分条件．
∴命题③为假命题；
对于④，命题“?x∈R，都有x²-3x-2≥0”的否定是“?x∈R，使得x²-3x-2＜0”．
∴命题④为假命题．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数周期性的求法，训练了充分条件和必要条件的判断方法，是中档题．