Question

6．垂直于直线y=x-1且与圆x²+y²=1相切于第三象限的直线方程为（　　）

• A． x+y-$\sqrt{2}$=0
• B． x+y+1=0
• C． x+y-1=0
• D． x+y+$\sqrt{2}$=0

Answer 1

分析 根据两直线垂直求出所求切线的斜率，由此设出切线方程，利用圆心到直线的距离d=r，即可求出切线的方程，再验证是否满足条件即可．

解答 解：设所求的直线为l，
∵直线l垂直于直线y=x-1，可得直线的斜率为k=-1，
∴设直线l方程为y=-x+b，即x+y-b=0，
又直线l与圆x²+y²=1相切，
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|b|}{\sqrt{2}}$=1，
解得b=±$\sqrt{2}$
当b=-$\sqrt{2}$时，可得切点坐标（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），切点在第三象限；
当b=$\sqrt{2}$时，可得切点坐标（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），切点在第一象限；
∵直线l与圆x²+y²=1的切点在第三象限，
∴取b=-$\sqrt{2}$，此时的直线方程为x+y+$\sqrt{2}$=0．
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．