Question

14．设函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）解不等式f（x）≥3
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥af（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求实数x的范围．

Answer 1

分析 （1）由已知条件根据x≤1，1＜x＜2，x≥2三种情况分类讨论，能求出不等式f（x）≥3的解集．
（2）由不等式|a+b|+|a-b|≥af（x），得$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$≥f（x），从而得到2≥|x-1|+|x-2|，由此利用分类讨论思想能求出实数x的范围．

解答 解：（1）当x≤1时，f（x）=1-x+2-x=3-2x，
∴由f（x）≥3得3-2x≥3，解得x≤0，
即此时f（x）≥3的解为x≤0；
当1＜x＜2时，f（x）=x-1+2-x=1，∴f（x）≥3不成立；
当x≥2时，f（x）=x-1+x-2=2x-3，
∴由f（x）≥3得2x-3≥3，解得x≥3，即此时不等式f（x）≥3的解为x≥3，
∴综上不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤0或x≥3}．
（2）由不等式|a+b|+|a-b|≥af（x），得$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$≥f（x），
又∵$\frac{|a+b|+|a-b|}{|a|}$≥$\frac{|a+b+a-b|}{|a|}$=2，
∴2≥f（x），即2≥|x-1|+|x-2|，
当x≥2时，2≥x-1+x-2，解得2≤x≤$\frac{5}{2}$；
当1≤x＜2时，2≥x-1+2-x，即2≥1，成立；
当x＜1时，2≥1-x+2-x，解得x$≥\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}≤x＜1$．
∴实数x的范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

点评 本题考查不等式的解集和实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．