Question

12．设函数f（x）=3x³-x+a（a＞0），若f（x）恰有两个零点，则a的值为$\frac{2}{9}$．

Answer 1

分析 利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=3x³-x+a恰有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由此求得a值．

解答 解：∵f（x）=3x³-x+a，∴f′（x）=9x²-1，
由f'（x）＞0，得x＞$\frac{1}{3}$或x＜-$\frac{1}{3}$，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，得-$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{3}$，此时函数单调递减．
即当x=-$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得极大值，当x=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得极小值．
要使函数f（x）=3x³-x+a恰有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，
由极大值f（-$\frac{1}{3}$）=$3×（-\frac{1}{3}）^{3}+\frac{1}{3}+a$=0，解得a=-$\frac{2}{9}$；
再由极小值f（$\frac{1}{3}$）=$3×（\frac{1}{3}）^{3}-\frac{1}{3}+a=0$，解得a=$\frac{2}{9}$．
∵a＞0，∴a=$\frac{2}{9}$．
故答案为：$\frac{2}{9}$．

点评 本题主要考查三次函数的图象和性质，利用导数求出函数的极值是解决本题的关键，属于中档题．