Question

16．已知函数y=$\frac{sinθcosθ}{2+sinθ+cosθ}$．
（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；
（2）求函数y=f（t）的值域．

Answer 1

分析 （1）由t=$\sqrt{2}$sin（t+$\frac{π}{4}$）利用正弦函数的性质可求t的范围，平方后利用同角三角函数基本关系式可求sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，进而即可用t表示y=f（t）．
（2）由y=$\frac{{t}^{2}-1}{4+2t}$=$\frac{1}{2}$[（t+2）+$\frac{3}{t+2}$-4]，利用基本不等式即可求其最小值，进而求得最大值即可得解函数y=f（t）的值域．

解答 解：（1）∵t=sinθ+cosθ，
∴t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
∴t²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=$\frac{sinθcosθ}{2+sinθ+cosθ}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}}{2+t}$=$\frac{{t}^{2}-1}{4+2t}$，t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
（2）∵y=$\frac{{t}^{2}-1}{4+2t}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{{（t}^{2}-4）+3}{t+2}$）=$\frac{1}{2}$[（t+2）+$\frac{3}{t+2}$-4]，
∵t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．
∴t+2∈[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]．
∴（t+2）+$\frac{3}{t+2}$$≥2\sqrt{（t+2）•\frac{3}{t+2}}$=2$\sqrt{3}$，当且仅当（t+2）=$\frac{3}{t+2}$，即t+2=$\sqrt{3}$时取等号．
∵t+2∈[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]．
∴函数的最小值为$\frac{1}{2}$[2$\sqrt{3}$-4]=$\sqrt{3}-2$．
当t=-$\sqrt{2}$时，f（-$\sqrt{2}$）=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
t=$\sqrt{2}$时，f（$\sqrt{2}$）=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
∴函数的最大值为$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
故函数y=f（t）的值域为：[$\sqrt{3}-2$，$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．