Question

20．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为$[{\frac{1}{b}，\frac{1}{a}}]$，求a+b的值．

Answer 1

分析 根据题意，先由奇函数的性质，分析可得x＞0时，f（x）=2x-x²，对于正实数a、b，分三种情况讨论：①、当a＜1＜b时，②、当a＜b＜1时，③、当1≤a＜b时，结合二次函数的性质，分析可得a、b的值，将其相加可得答案．

解答 解：设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x），即-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，设这样的正数a，b存在，
则$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{b}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{a}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{b}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=1\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}=1\end{array}\right.$
由$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{b}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}\end{array}\right.$得ab（a-b）=0，舍去；由$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=1\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1.\end{array}\right.$矛盾，舍去；
由$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{a}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{b}\end{array}\right.$得a，b是方程-x³+2x²=1的两个实数根，
由（x-1）（x²-x-1）=0
得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}\end{array}\right.$，$a+b=1+\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}=\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，涉及二次函数的性质，注意先由奇函数的性质，求出x＞0时，f（x）的解析式．