Question

16．已知函数f（x）=（4-x）e^x-2，试判断是否存在m使得y=f（x）与直线3x-2y+m=0（m为确定的常数）相切？

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，设g（x）=（3-x）e^x-2，求出导数和单调区间，可得极值也为最值，假设存在m满足题意，由直线方程可得斜率大于最值，即可判断不存在．

解答 解：函数f（x）=（4-x）e^x-2，
导数为f′（x）=（3-x）e^x-2，
设g（x）=（3-x）e^x-2，则g'（x）=（2-x）e^x-2，
由x＞2时，g'（x）＜0，g（x）递减；x＜2时，g'（x）＞0，g（x）递增．
可推得g（x）极大值为g（2）=1，也为最大值．
假设y=f（x）与直线3x-2y+m=0（m为确定的常数）相切，
则切线的斜率为$\frac{3}{2}$，
由于切线的斜率的最大值为1．
所以$f'（x）=（3-x）{e^{x-2}}=\frac{3}{2}$无解．
所以不存在m满足题意．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查存在性问题的解法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．