题目内容
5．已知a∈R，函数f（x）=|x+$\frac{4}{x}$-a|+a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取值范围是（-∞，$\frac{9}{2}$]．分析 通过转化可知|x+$\frac{4}{x}$-a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a-5≤x+$\frac{4}{x}$≤5，进而计算可得结论．
解答 解：由题可知|x+$\frac{4}{x}$-a|+a≤5，即|x+$\frac{4}{x}$-a|≤5-a，所以a≤5，
又因为|x+$\frac{4}{x}$-a|≤5-a，
所以a-5≤x+$\frac{4}{x}$-a≤5-a，
所以2a-5≤x+$\frac{4}{x}$≤5，
又因为1≤x≤4，4≤x+$\frac{4}{x}$≤5，
所以2a-5≤4，解得a≤$\frac{9}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{9}{2}$]．
点评 本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
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