Question

12．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x．
（1）若f（x）=$\frac{15}{4}$，求x的值；
（2）若不等式f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，$\frac{π}{2}$]都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x=$\frac{15}{4}$可求得2^x=$\frac{1}{4}$，从而可求得x的值；
（2）由f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x可判断f（x）为奇函数，且为减函数，不等式f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）＜f（0）?2m-mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，$\frac{π}{2}$]都成立，分离参数m，利用函数的单调性可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）令t=2^x＞0，则$\frac{1}{t}$-t=$\frac{15}{4}$，解得t=-4（舍）或t=$\frac{1}{4}$，…3分，
即2^x=$\frac{1}{4}$，所以x=-2…6分
（2）因为f（-x）=${（\frac{1}{2}）}^{-x}$-2^-x=2^x-${（\frac{1}{2}）}^{x}$=-f（x），
所以f（x）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由
f（2m-mcosθ）+f（-1-cosθ）＜f（0）=0得：f（2m-mcosθ）＜f（1+cosθ）…8分，
又f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-2^x在R上单调递减，…9分，
所以2m-mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，$\frac{π}{2}$]都成立，…10分，
所以m＞$\frac{1+cosθ}{2-cosθ}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，…12分，
令μ=cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，则μ∈[0，1]，
y=$\frac{1+μ}{2-μ}$=-1+$\frac{3}{2-μ}$，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2…16分

点评 本题考查函数恒成立问题，突出考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查等价转化思想与分离参数法、换元法的运用，属于难题．