Question

2．抛物线C顶点在原点，焦点是圆x²+y²-4x=0的圆心
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）过点P（1，1）作直线l与抛物线C相交于A、B两点，且线段AB被点P平分，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得圆心坐标及半径，由$\frac{p}{2}$=2，即可求得p=4，即可求得抛物线的方程；
（Ⅱ）由题意可知，设AB的方程为x=my-m+1，代入抛物线的标准方程为y²=8x，求得m的值，从而得到AB的方程．

解答 解：（Ⅰ）圆（x-2）²+y²=4，圆心F（2，0），半径r=2，
∴$\frac{p}{2}$=2，即p=4，
∴抛物线的方程为y²=8x；
（Ⅱ）由题意可知，设AB的方程为x=my-m+1，代入抛物线的标准方程为y²=8x可得
y²-8my+8m-8=0，∴y₁+y₂=8m=2，∴m=$\frac{1}{4}$，∴AB的方程为4x-y-3=0．

点评 本题考查抛物线的标准方程及性质，考查圆的性质，直线与抛物线的位置关系，焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题．