Question

7．已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x-x²，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[-4，4]，则实数t的取值范围是[-2-2$\sqrt{2}$，-2]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：如x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=4x-x²，
∴当-x＞0时，f（-x）=-4x+x²，
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，且f（-x）=-4x+x²=-f（x），
则f（x）=4x+x²，x＜0，
则函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-{x}^{2}，}&{x≥0}\\{4x+{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，
则当x＞0，f（x）=4x-x²=-（x-2）²+4≤4，
当x＜0，f（x）=4x+x²=（x+2）²-4≥-4，
当x＜0时，由4x+x²=4，即x²+4x-4=0得x=$\frac{-4-\sqrt{16+16}}{2}$=-2-2$\sqrt{2}$，（正值舍掉），
若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[-4，4]，
则-2-2$\sqrt{2}$≤t≤-2，
即实数t的取值范围是[-2-2$\sqrt{2}$，-2]，
故答案为：[-2-2$\sqrt{2}$，-2]

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据条件结合函数奇偶性的性质求出函数的解析式以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．