题目内容

20．已知a，b∈R，求证：a4+b4≥$\frac{1}{2}$ab（a+b）2．

分析 运用作差比较法，将2（a4+b4）-ab（a+b）2，展开分组，运用提取公因式和完全平方公式，以及立方差和平方差公式，因式分解，判断符号，即可得证．

解答 证明：2（a4+b4）-ab（a+b）2=2（a4+b4）-ab（a2+2ab+b2）
=（a4+b4-a3b-ab3）+（a4-2a2b2+b4）
=[a3（a-b）-b3（a-b）]+（a2-b2）2
=（a-b）（a3-b3）+（a-b）2（a+b）2，
=（a-b）2（a2+ab+b2+a2+2ab+b2）
=（a-b）2（2a2+3ab+2b2），
由（a-b）2≥0，2a2+3ab+2b2=2（a+$\frac{3}{4}$b）2+$\frac{7}{8}$b2≥0，
可得（a-b）2（2a2+3ab+2b2）≥0，
则a4+b4≥$\frac{1}{2}$ab（a+b）2．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，以及分解因式的方法，运用平方非负数和配方判断符号，属于中档题．

练习册系列答案
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