Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（$θ-\frac{π}{3}$）=2．
（1）试写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）若过点E（3，0）与直线l平行的直线1′与曲线C交于A、B两点，试求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），平方相减可得：x²-y²=4．直线l的极坐标方程为ρsin（$θ-\frac{π}{3}$）=2，展开化为：$\frac{1}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=2，利用互化公式可得直角坐标方程：$\sqrt{3}$x-y+4=0．
（2）设与直线l平行的直线1′的方程为：$\sqrt{3}$x-y+m=0，把点E（3，0）代入解得m．可得直线1′的方程，与x²-y²=4联立化为：2x²-18x+23=0．利用根与系数的关系可得|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），
则x²-y²=$（t+\frac{1}{t}）^{2}$-$（t-\frac{1}{t}）^{2}$$\frac{2}{t}×2t$=4．可得直角坐标方程：x²-y²=4．
直线l的极坐标方程为ρsin（$θ-\frac{π}{3}$）=2，
展开化为：$\frac{1}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=2，可得直角坐标方程：$\sqrt{3}$x-y+4=0．
（2）设与直线l平行的直线1′的方程为：$\sqrt{3}$x-y+m=0，把点E（3，0）代入可得：$3\sqrt{3}$+m=0，解得m=-3$\sqrt{3}$．
∴直线1′的方程为：$\sqrt{3}$x-y-3$\sqrt{3}$=0，与x²-y²=4联立化为：2x²-18x+23=0．
∴x₁+x₂=9，x₁x₂=$\frac{23}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+3）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=2$\sqrt{{9}^{2}-4×\frac{23}{2}}$=2$\sqrt{35}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与双曲线相交弦长、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．