Question

10．半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．
（1）求半圆C的标准方程和直线l的普通方程；
（2）若直线l与曲线C有且只有2个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程，注意y的取值范围．直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），消去参数t化为普通方程．
（2）如图所示，直线l经过点（-2，2）时，即a=6时，直线与圆有两个交点．当直线与半圆相切时，$\frac{|-4+a|}{\sqrt{5}}$=2，解得a，结合图形即可得出．

解答 解：（1）半圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），
即ρ²=4ρsinθ，化为x²+y²=4y，平方为x²+（y-2）²=4（2≤y≤4）．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t为参数），消去参数t化为普通方程：x-2y+a=0．
（2）如图所示，直线l经过点（-2，2）时，即-2-2×2+a=0，
解得a=6时，直线与圆有两个交点．
当直线与半圆相切时，$\frac{|-4+a|}{\sqrt{5}}$=2，解得a=4$±2\sqrt{5}$，取a=4+2$\sqrt{5}$．
∴当$6≤a＜4+2\sqrt{5}$时，直线l与曲线C有且只有2个公共点．
∴实数a的取值范围是$[6，4+2\sqrt{5}）$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、直线与圆相交相切问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．