Question

在△ABC中，5cos2C-12cosC+7=0，c=7，S_△ABC=6

6

，求sinB=

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,二倍角的余弦

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：由二倍角的余弦公式化简可得cosC，再由同角的平方关系可得sinC，结合面积公式，可得ab=30，再由余弦定理，解关于a，b的方程可得a，b，再由正弦定理，可得sinB．

解答： 解：5cos2C-12cosC+7=0
5（2cos²C-1）-12cosC+7=0，
即为5cos²C-6cosC+1=0，
则cosC=1（舍去），或cosC=

1

5

，
即有sinC=

1- 1 25

=

2 6

5

，
S_△ABC=6

6

，即为

1

2

absinC=6

6

，
即有ab=30，
由余弦定理可得，cosC=

a2+b2-72

2ab

=

1

5

，
即有a²+b²=61，
解得a=5，b=6或a=6，b=5．
则由正弦定理可得，
sinB=

bsinC

c

=

6× 2 6 5

7

=

12 6

35

；
或sinB=

5× 2 6 5

7

=

2 6

7

．
故答案为：

12 6

35

或

2 6

7

．

点评：本题考查余弦定理、正弦定理及面积公式的运用，同时考查二倍角公式的运用，考查运算能力，属于基础题．