Question

5．已知平面上三个向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，求$\overrightarrow{c}$的坐标；
（2）若|$\overrightarrow{b}$|=3$\sqrt{5}$，且（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1））根据$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，利用|$\overrightarrow{c}$|求出λ的值即可；                                           
（2）根据（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）数量积为0，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的值，再求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值．

解答 解：（1））∵$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{c}$，设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{c}$=（λ，2λ），
由|$\overrightarrow{c}$|=3$\sqrt{5}$，得$\sqrt{{λ}^{2}{+（2λ）}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
解得λ=±3，
∴$\overrightarrow{c}$=（3，6）或（-3，-6）；                                           
（2）∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=3$\sqrt{5}$，
且（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），
∴（4$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=8${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=8×5+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-45=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值为：
cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|×|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{5}×3\sqrt{5}}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了向量共线定理和向量的模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．