Question

15．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x²+y²=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．
（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；
（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得⊙O及直线l的极坐标方程．
（2）设动点M（ρ，θ），A（ ρ₁，θ）、B（ ρ₂，θ），则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\frac{{ρ}_{1}{+ρ}_{2}}{2}}\\{{ρ}_{1}=2}\\{{ρ}_{2}cosθ=4}\end{array}\right.$，化简可得动点M的轨迹方程．

解答 解：（1）∵⊙O的方程x²+y²=4，故它的极坐标方程为ρ²=4，即ρ=2；
∵直线l：x=4，故它的极坐标方程为ρcosθ=4．
（2）由于AB中点为M，设动点M（ρ，θ），A（ ρ₁，θ）、B（ ρ₂，θ），则$\left\{\begin{array}{l}{ρ=\frac{{ρ}_{1}{+ρ}_{2}}{2}}\\{{ρ}_{1}=2}\\{{ρ}_{2}cosθ=4}\end{array}\right.$，
∴动点M的轨迹方程为 ρ=1+$\frac{2}{cosθ}$．

点评 本题主要考查极坐标方程与普通方程之间的转化，求简单曲线的极坐标方程，属于基础题．