Question

在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量

m

=（a+c，a-b），

n

=（sinB，sinA-sinC），且

m

∥

n

，
（1）求∠C的大小；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据向量平行的坐标公式建立方程关系，利用余弦定理即可求∠C的大小；
（2）利用辅助角公式即可sinA+sinB的取值范围．

解答： 解：（1）∵

m

=（a+c，a-b），

n

=（sinB，sinA-sinC），且

m

∥

n

，
∴（a+c）（sinA-sinC）-（a-b）sinB=0，
根据正弦定理得∴（a+c）（a-c）-（a-b）b=0，
即a²-c²-ab+b²=0，
∴a²-c²+b²=ab，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

ab

2ab

=

1

2

，
∴C=

π

6

；
（2）∵C=

π

3

，∴A+B=

2π

3

，
∴B=

2π

3

-A，0＜A＜

2π

3

，
∴sinA+sinB=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cos A=

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴当A+

π

6

=

π

2

时，sinA+sinB取得最大值

3

，
当A+

π

6

=

π

6

或

5π

6

时，sinA+sinB取得最小值

3

×

1

2

=

3

2

，
∴

3

2

＜sinA+sinB≤

3

，
即sinA+sinB的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用余弦定理求出C的大小是解决本题的关键．要求熟练掌握辅助角公式的应用．