Question

15．设双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2$\sqrt{3}$，求双曲线的渐近线方程并求以双曲线焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程．

Answer 1

分析 利用已知条件求出a，b，然后求解双曲线的渐近线方程，然后推出椭圆的长半轴的长，短半轴的长，求出椭圆方程即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2$\sqrt{3}$，
可得：b=1，c=$\sqrt{3}$，则a=$\sqrt{2}$，渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
以双曲线焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆的长半轴为：$\sqrt{3}$，半焦距为：$\sqrt{2}$，短半轴为：1，
椭圆方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质椭圆的简单性质的应用，考查基本知识的应用．