Question

3．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x\;，\;\;x≥0\\{x^2}+2x\;，\;\;x＜0\end{array}\right.$．
（1）画出y=f（x）的图象，并写出单调递增区间；
（2）根据图象讨论关于x的方程f（x）=m的实根的个数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性得出该函数的对称性，可以先画出该函数在（0，+∞）上的图象，利用对称性得出该函数在整个定义域上的图象；根据图象观察得出函数的单调增区间；
（2）通过讨论m的范围，结合函数f（x）的图象求出关于x的方程f（x）=m的实根的个数．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域是R，
函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x\;，\;\;x≥0\\{x^2}+2x\;，\;\;x＜0\end{array}\right.$，即f（x）=x²-2|x|，
而f（-x）=（-x）²-2|-x|═x²-2|x|=f（x），
故该函数是偶函数，故其图象关于y轴对称，
当x≥0时，y=x²-2x，先画出该部分的图象，
利用对称性得出该函数的完整的图象．
据图象写出该函数的单调递增区间为：（-1，0），（1，+∞）；
（2）由（1）得：f（x）的最小值是f（1）=f（-1）=-1，
故m＜-1时，关于x的方程f（x）=m，无实数根，
m=-1时，关于x的方程f（x）=m，2个实数根，
-1＜m＜0时，关于x的方程f（x）=m，4个实数根，
m=0时，关于x的方程f（x）=m，3个实数根，
m＞0时，关于x的方程f（x）=m，2个实数根．

点评 本题考查函数奇偶性的应用问题，考查函数奇偶性的判断方法，考查函数图象的作法，考查数形结合思想和等价转化思想，考查函数的零点问题，是一道中档题．