Question

20．已知函数f（x）=|2x+1|+|x-2|，不等式f（x）≤2的解集为M．
（1）求M；     
（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足abc=m，
求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）由零点分段法，分类讨论，即可求M；     
（2）abc=1，利用基本不等式，即可证明结论．

解答 解：（1）f（x）=|2x+1|-|x-2|≤2化为：$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{-x-3≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤x≤2}\\{3x-1≤2}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x+3≤2}\end{array}}\right.⇒-5≤x＜-\frac{1}{2}$或$-\frac{1}{2}≤x≤1$
所以集合M={x|-5≤x≤1}..…（5分）
（2）集合M中最大元素为m=1，所以abc=1，其中a＞0，b＞0，c＞0
因为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\sqrt{\frac{abc}{ab}}=2\sqrt{c}$，$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{bc}}=2\sqrt{\frac{abc}{bc}}=2\sqrt{a}$，．…（7分）
$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥2\sqrt{\frac{1}{ac}}=2\sqrt{\frac{abc}{ac}}=2\sqrt{b}$，
三式相加得：$2（\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}）≤2（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）$，
所以$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}≤\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．