Question

6．如图，已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{10}$+y²=1，双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），若以C₁的长轴为直径的圆与C₂的一条渐近线交于A，B两点，且C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C₂的离心率为（　　）

• A． 9
• B． 5
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 由已知，|OA|=a=$\sqrt{10}$，设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），则A（$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{10}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$），AB的一个三分点坐标为（$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{10}k}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$），由该点在椭圆C₁上，求出$\frac{b}{a}$=2$\sqrt{2}$，从而c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3a，由此能求出离心率．

解答 解：由已知，|OA|=a=$\sqrt{10}$，
设OA所在渐近线的方程为y=kx（k＞0），
∴A点坐标可表示为A（x₀，kx₀）（x₀＞0）
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}{x}_{0}$=$\sqrt{10}$，即A（$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{10}k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$），
∴AB的一个三分点坐标为（$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$\frac{\sqrt{10}k}{3\sqrt{1+{k}^{2}}}$），
该点在椭圆C₁上，∴$\frac{\frac{10}{9（1+{k}^{2}）}}{10}+\frac{10{k}^{2}}{9（1+{k}^{2}）}=1$，即$\frac{1+10{k}^{2}}{9（1+{k}^{2}）}$=1，得k=2$\sqrt{2}$，
即$\frac{b}{a}$=2$\sqrt{2}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3a，
∴离心率e=$\frac{c}{a}=3$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查椭圆性质、双曲线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．