Question

14．已知函数f（x）=（x²-x+1）e^x，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[-2，+∞）时，讨论函数f（x）的图象与直线y=m的公共点个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的端点值和极值，通过讨论m的范围，求出函数f（x）的图象与直线y=m的公共点个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=（x²-x+1）e^x，
f′（x）=x（x+1）e^x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）在[-2，-1）递增，在（-1，0）递减，在（0，+∞）递增，
而f（-2）=$\frac{7}{{e}^{2}}$，f（-1）=$\frac{3}{e}$，f（0）=1＜f（-2），
故m＞$\frac{3}{e}$时，f（x）的图象与直线y=m的公共点个数是1个，
m=$\frac{3}{e}$时，f（x）的图象与直线y=m的公共点个数是2个，
1＜m＜$\frac{3}{e}$时，f（x）的图象与直线y=m的公共点个数是3个，
m=1时，f（x）的图象与直线y=m的公共点个数是2个，
$\frac{7}{{e}^{3}}$≤m＜1时，f（x）的图象与直线y=m的公共点个数是1个；
m＜$\frac{7}{{e}^{3}}$时，f（x）的图象与直线y=m的公共点个数是0个．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．