Question

17．已知f（x）=$\frac{{x}^{2}}{a（x+b）}$在点（2，f（2））处的切线方程为y=2．
（1）求a，b的值；
（2）已知各项均为负的数列{a_n}满足4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，（S_n为数列{a_n}的前n项和），求证：-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜ln$\frac{n+1}{n}$＜-$\frac{1}{{a}_{n}}$；
（3）设b_n=-$\frac{1}{{a}_{n}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₇-1＜ln2017＜T₂₀₁₆．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{2x（x+b）-{x}^{2}}{a（x+b）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2bx}{a（x+b）^{2}}$，可得f′（2）=$\frac{4+4b}{a（2+b）^{2}}$=0，又f（2）=$\frac{4}{a（2+b）}$=2，联立解得a，b．
（2）由（1）可得：f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$，可得4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，化为：2S_n=a_n-${a}_{n}^{2}$．利用递推关系可得：a_n-a_n-1=-1，可得：a_n=-n．因此证明：-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜ln$\frac{n+1}{n}$＜-$\frac{1}{{a}_{n}}$；即证明：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．令g（x）=ln（x+1）-x，g（0）=0，x∈[0，1]．利用导数研究其单调性即可证明：ln（x+1）≤x，令x=$\frac{1}{n}$，则$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．同理令h（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，则h（x）在（0，1）上单调递增．即可证明左边．
（3）b_n=-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$．由（2）可得：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．分别取n=1，2，…，2016，右边累加求和可得：ln2017＜T₂₀₁₆．左边累加求和可得：T₂₀₁₇-1＜ln2017．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{2x（x+b）-{x}^{2}}{a（x+b）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2bx}{a（x+b）^{2}}$，∴f′（2）=$\frac{4+4b}{a（2+b）^{2}}$=0，又f（2）=$\frac{4}{a（2+b）}$=2，
联立解得b=-1，a=2．
（2）证明：由（1）可得：f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2（x-1）}$，∵4S_n•f（$\frac{1}{{a}_{n}}$）=1，
∴4S_n•$\frac{1}{2{a}_{n}（1-{a}_{n}）}$=1，化为：2S_n=a_n-${a}_{n}^{2}$．
∴n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n-${a}_{n}^{2}$-a_n-1+${a}_{n-1}^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∵a_n+a_n-1＜0，
∴a_n-a_n-1=-1，
n=1时，$2{a}_{1}={a}_{1}-{a}_{1}^{2}$，a₁＜0，解得a₁=-1．
∴a_n=-1-（n-1）=-n．
因此证明：-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$＜ln$\frac{n+1}{n}$＜-$\frac{1}{{a}_{n}}$；即证明：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
令g（x）=ln（x+1）-x，g（0）=0，x∈[0，1]．
g′（x）=$\frac{1}{1+x}$-1≤0，∴函数g（x）在x∈[0，1]单调递减．
∴g（x）≤g（0），
可得：ln（x+1）≤x，
令x=$\frac{1}{n}$，则$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
同理令h（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，则h（x）在（0，1）上单调递增．
∴h（x）＞h（0）=0．
∴ln（x+1）＞$\frac{x}{x+1}$，
令x=$\frac{1}{n}$，则$ln\frac{n+1}{n}$＞$\frac{1}{1+n}$．
综上可得：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
（3）证明：b_n=-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，T_n为数列{b_n}的前n项和，T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$．
由（2）可得：$\frac{1}{n+1}$＜$ln\frac{n+1}{n}$＜$\frac{1}{n}$．
分别取n=1，2，…，2016，
右边累加求和可得：$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}$+…+$ln\frac{2017}{2016}$＜1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2016}$，
∴ln2017＜T₂₀₁₆．
左边累加求和可得：$\frac{1}{2017}+\frac{1}{2016}$+…+$\frac{1}{2}$＜$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}$+…+$ln\frac{2017}{2016}$，
∴T₂₀₁₇-1＜ln2017．
综上可得：T₂₀₁₇-1＜ln2017＜T₂₀₁₆．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性切线方程、数列递推关系、导数函数的运算性质、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．