Question

5．（Ⅰ）计算由直线y=x-4，曲线y=$\sqrt{2x}$以及x轴所围图形的面积S．
（Ⅱ）试判断$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$的大小，并证明你的判断．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先计算两个曲线的交点，然后利用定积分表示封闭图形的面积，并且计算面积即可．
（Ⅱ）两个数都是正的无理数，所以利用平方后作差法找出大小关系．

解答 解：（Ⅰ）由直线y=x-4，曲线y=$\sqrt{2x}$相交的交点为（8，4）所以由直线y=x-4，曲线y=$\sqrt{2x}$以及x轴所围图形的面积S=${∫}_{0}^{4}（y+4-\frac{{y}^{2}}{2}）dy=（\frac{1}{2}{y}^{2}+4y-\frac{1}{6}{y}^{3}）{|}_{0}^{4}$=$\frac{40}{3}$；
（Ⅱ）要判断$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$和2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$的大小，因为（$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$）=13+2$\sqrt{42}$，（2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$）=13+4$\sqrt{10}$，所以只要判定$\sqrt{42}$与$\sqrt{40}$ 的大小，显然$\sqrt{42}＞\sqrt{40}$，
所以$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了定积分的运用以及分析法判定两个正无理数的大小；关键是利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算定积分．