Question

设函数f（x）对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时f（x）＞0，f（1）=1．
（1）判断f（x）的单调性，并证明；
（2）当-3≤x≤3时，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，得f（x）为奇函数．令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），结合x＞0时f（x）＞0，结合函数单调性的定义可得结论．
（2）运用（1）的结论和条件f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=1，求出f（3）和f（-3）即可．

解答： 解：（1）f（x）在R上是增函数．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=0，则f（0+y）=f（0）+f（y）
∴f（0）=0，
令y=-x，
∴f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
∴f（x）为R上的奇函数，
令x₂＞x₁则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂＞x₁，∴x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x）为R上的单调增函数；
（2）∵f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=1，
∴f（2）=2f（1）=2，f（3）=f（2）+f（1）=3，
∴f（-3）=-3
∵f（x）在R上是增函数，
∴f（x）在[-3，3]上的值域是[f（-3），f（3）]，
即f（x）的取值范围为[-3，3]．

点评：本题以抽象函数为载体考查了函数求值，函数的奇偶性，函数的单调性和函数的最值，熟练掌握函数奇偶性和单调性的定义是解答的关键．