Question

已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，其回旋值为t．给出下列四个命题：
①函数f（x）=2为回旋函数的充要条件是回旋值t=-1；
②若y=a^x（a＞0，且a≠1）为回旋函数，则回旋值t＞1；
③若f（x）=sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期不大于2；
④对任意一个回旋值为t（t≥0）的回旋函数f（x），方程f（x）=0均有实数根．
其中为真命题的是

 

（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：推理和证明

分析：①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．
③由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0对任意实数x成立，结论可证．
④t=0时结论显然；当t≠0时先假设存在，利用回旋函数的定义，易得在区间（0，t）上必有一个实根．

解答： 解：对于①函数f（x）=2为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故结论正确．
对于②，若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，则a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴结论不成立．
对于③，由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0对任意实数x成立
令x=0，可得sinωt=0，令x=

π

2

，运用两角的和的正弦公式可得可得cosωt=-t，
由

sinωt=0 cosωt=-t

，得t=±1，ω=kπ（k为整数），∴T=|

2

K

|≤2，∴结论正确；
对于④，如果t=0，显然f（x）=0，则显然有实根．下面考虑t≠0的情况．
若存在实根x₀，则f（x₀+t）+tf（x₀）=0，即f（x₀+t）=0说明实根如果存在，那么x₀+t也是实根．因此在区间（0，t）上必有一个实根．
则：f（0）f（t）＜0，由于f（0+t）+tf（0）=0，则f（0）=-

f(t)

t

，
只要t＞0，即可保证f（0）和f（t）异号．
综上t≥0，即对任意一个阶数为t（t≥0）的回旋函数f （x），方程f（x）=0均有实数根，故结论正确．
故答案为：①③④．

点评：本题是新定义题，关键是理解新定义，利用新定义时，应注意赋值法的运用，属于中档题．