Question

4．已知△ABC中，AB=5，AC=8．∠BAC=60°，I为△ABC内心，满足$\overrightarrow{AI}$=m$\overrightarrow{BI}$+n$\overrightarrow{CI}$，则7（|m|+|n|）=13．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AI}=m\overrightarrow{BI}+n\overrightarrow{CI}$=m$\overrightarrow{AI}+n\overrightarrow{AI}-m\overrightarrow{AB}-n\overrightarrow{AC}$，从而（m+n-1）•$\frac{5\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{AI}|$=25m+20n，再由$（m+n-1）•4\sqrt{3}|\overrightarrow{AI}|=20m+64n$，得到5m=8n，由此能求出7（|m|+|n|）的值．

解答 解：∵△ABC中，AB=5，AC=8．∠BAC=60°，I为△ABC内心，
满足$\overrightarrow{AI}$=m$\overrightarrow{BI}$+n$\overrightarrow{CI}$，
∴$\overrightarrow{AI}=m\overrightarrow{BI}+n\overrightarrow{CI}$=m（$\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB}$）+n（$\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AC}$）=m$\overrightarrow{AI}+n\overrightarrow{AI}-m\overrightarrow{AB}-n\overrightarrow{AC}$，
∴$m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}=（m+n-1）\overrightarrow{AI}$，∴（m+n-1）$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{AB}$=m${\overrightarrow{AB}}^{2}+n•\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$，
∴（m+n-1）|$\overrightarrow{AI}$|×$5×\frac{\sqrt{3}}{2}$=m×25+n×5×$8×\frac{1}{2}$，
即（m+n-1）•$\frac{5\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{AI}|$=25m+20n，①
又（m+n-1）$\overrightarrow{AI}•\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+n${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
（m+n-1）•|$\overrightarrow{AI}$|$•8•\frac{\sqrt{3}}{2}$=m×$5×8×\frac{1}{2}$+64n，
∴$（m+n-1）•4\sqrt{3}|\overrightarrow{AI}|=20m+64n$，②
$\frac{①}{②}$，得5m=8n，③
又$\overrightarrow{AI}$=$\frac{m}{m+n-1}$$\overrightarrow{AB}+\frac{n}{m+n-1}\overrightarrow{AC}$，∴AEID为菱形，
∴|$\frac{m\overrightarrow{AB}}{m+n-1}$|=|$\frac{n\overrightarrow{AC}}{m+n-1}$|，
∴m|$\overrightarrow{AB}$|=n|$\overrightarrow{AC}$|，∴5m=8n，
又|$\overrightarrow{BC}$|²=5²+8²-2×$5×8×\frac{1}{2}$=49，∴|BC|=7，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×5×8×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$，r=$\sqrt{3}$∴|$\overrightarrow{AI}$|=2$\sqrt{3}$，
代入②中，（m+n-1）×6=5m+16n，即m-10n=6，④
③④联立，解得m=-$\frac{48}{42}$，n=-$\frac{30}{42}$，
∴7（|m|+|n|）=13．
故答案为：13．

点评 本题考查代数式的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形内心性质的合理运用．